울산과학기술원(UNIST)은 국내 연구진이 '사도브스키 패치'라는 소용돌이 쌍이 이상적 유체 안에서 존재할 수 있음을 수학적으로 증명했다고 2일 밝혔다. 이 모델 구조가 제안된 지 50여 년 만이다.

최규동 교수와 심영진 학생은 정인지 서울대학교 교수와 함께 사도브스키 패치가 오일러 방정식의 해로서 존재할 수 있음을 증명했다.

사도브스키 패치는 서로 반대 방향으로 돌며 회전 세기가 균등한 두 소용돌이가 완전히 맞붙은 채로 움직이는 특수한 소용돌이 쌍이다. 비행기 날개 끝이나 배 뒤에 생기는 소용돌이와 비슷하게 생겼지만, 실제 물이나 공기와는 달리 이상적인 유체를 가정했기 때문에 모양을 유지하며 영원히 직진할 수 있다.

1971년 러시아 수학자 사도브스키(V. S. Sadovskii)가 수치 시뮬레이션을 통해 이 모델을 처음 제안했지만, 이 패치의 존재를 수학적으로 증명하는 것은 쉽지 않을 것이라고 논문에서 언급했다.

수학적으로 존재를 증명하는 가장 확실한 방법은 사도브스키 패치의 모양과 운동을 동시에 설명하는 함수, 즉 유체의 운동 법칙인 오일러 방정식의 해를 직접 찾아내는 것이다.

하지만 이런 함수를 실제로 구하는 것은 일반적으로 불가능에 가깝다. 두 소용돌이가 대칭축에서 완전히 접촉한 채 끊김 없이 이동해야 하는 특수한 구조 탓이다.

연구진은 변분법을 사용해 이를 새롭게 풀어냈다. 변분법은 특정 조건을 만족하는 여러 가능한 함수 가운데 주어진 값을 최대화 또는 최소화하는 함수를 찾는 방법이다.

연구팀은 먼저 소용돌이 간 간격을 작게 설정하고 소용돌이 회전 세기에 상한을 두는 조건을 걸어둔 뒤, 그 안에서 운동에너지가 가장 큰 값을 갖는 소용돌이 쌍을 찾아냈다. 이렇게 얻어진 최대 에너지 소용돌이 쌍의 구조를 단계적으로 분석한 결과, 그 모양이 사도브스키가 제안한 패치의 형태임을 증명했다.

최규동 교수는 "사도브스키 패치의 수학적 존재성을 입증하는 연구를 북경대 황퉁(Huang-Tong) 교수팀과 경쟁해 왔는데, 황퉁 교수팀의 연구와 달리 이번 연구에서는 사도브스키 패치의 수학적 존재성뿐만 아니라 역학적 타당성, 즉 물리적 안정성도 검증해 낸 것이 차별점"이라고 설명했다.

물리적으로 안정적이라는 것은 패치의 존재가 논리적으로도 모순이 없을 뿐만 아니라 실제로 관찰 가능한 수준으로 지속될 수 있다는 의미다.

연구팀은 이번 성과가 난류 연구, 항공기와 선박의 후류 해석, 후지와라 효과와 같은 대기·해양 소용돌이 간 상호 작용 연구 분야에서 유체역학적 이해의 토대를 넓힌 의미를 갖는다고 덧붙였다. 후지와라 효과는 두 개 이상의 태풍이 인접할 때 나타나는 간섭 현상으로, 일본 기상학자 후지와라 사쿠헤이가 1921년 제시했다.

연구 결과는 수학 분야 최상위 저널 중 하나인 편미분방정식연보(Annals of PDE)의 하반기 호인 12월 호에 실렸다. 수행은 과학기술정보통신부 한국연구재단의 지원을 받아 이뤄졌다.